\documentclass{beamer}
\usepackage[space,noindent]{ctex}
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\usetheme{Antibes}
\begin{document}
\kaishu
\title{地月物资运输的高效方案}
\subtitle{基于电磁加速机制的研究}
\institute{北京大学物理学院}
\author{范翔}
\date{\today}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame}
\tableofcontents
\end{frame}
\section{概述}
\subsection{研究动机}
\begin{frame}
\frametitle{研究动机}
月球是通向太空的必经之路：
\begin{enumerate}
\item{月球的重力只有地球的1/6，便于向外发射卫星}
\item{月球几乎没有大气层，空气阻力比地球小得多}
\item{如果在月球表面挖一个洞并且在里面建立基地，则月球的地面就是一个极其良好的防辐射、防撞击的保护层，不必担心仪器损坏}
\item{月球上也有丰富的资源，建立基地所需的资源可以就地挖掘}
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{研究动机}
火箭的缺点以及电磁发射的优点：
\begin{enumerate}
\item{火箭运输有一个固有的问题，它必须一路上不停地燃烧燃料进行加速，而这就导致一开始的时候其实大部分燃料是去加速燃料去了，能量利用效率太低}
\item{火箭燃料价格非常昂贵，目前火箭发射或航天飞机运送每公斤有效载荷约需2万美元}
\item{火箭运输每次运输的质量只能很小，无法输送大宗物资}
\end{enumerate}
\end{frame}

\subsection{几种不同的设计}
\begin{frame}
\frametitle{设计一：电容放电驱动永磁体}
抛射体为永磁体，具有固定磁矩，在外磁场梯度的驱动下进行加速\\
~\\
采用电容驱动的同步加速，当抛射体到达线圈的相应位置时，用电容同步地驱动线圈，以实现抛射体时刻受到向前的加速力\\
~\\
动态图 Coilgun\_animation.gif
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{设计二：电容放电驱动普通线圈}
内部抛射体采用普通线圈，利用互感推进。\\
~\\
这是一种传统的设计方案。
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{设计三：电容放电驱动超导圆盘}
我们考虑将抛射体进行改进，放弃使用磁性材料制作抛射体，而在抛射体上附加超导圆盘。\\
~\\
利用超导的迈斯纳效应（完全抗磁性）推进抛射体。迈斯纳效应即超导体内部B=0，可以等效成一个超导体圆盘表面的电流环，这个电流环产生的磁场恰好与外磁场相加为零。由这个电流环的受力即可得出超导体的受力。\\
~\\
第二类超导体的失超磁场可以达到20T\\
发射过程仅为秒的量级 维持低温超导并不困难
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{设计四：超导线圈驱动抛射体}
Quenchgun，一个新想法。\\
外线圈使用超导线圈 抛射体为普通线圈\\
将外部超导线圈提前充满电流，储存能量\\
同步熄灭法推进
\end{frame}

\section{出射速度的计算}
\subsection{限制性三体问题}
\begin{frame}
\frametitle{限制性三体问题}
用数值方法可以确定出抛射体在地球、月亮的引力下的轨迹，从而可以计算出欲达到月球需要的最小发射速度，以及此时的发射角度。
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{l}
\ddot{x}=2\Omega\dot{y}+\Omega^2x-\frac{Gm_1}{r_1^3}(x+\pi_2 r_{12})-\frac{Gm_2}{r_2^3}(x-\pi_1 r_{12})\\
\ddot{y}=-2\Omega \dot{x}+\Omega^2 y-\frac{Gm_1}{r_1^3}y-\frac{Gm_2}{r_2^3}y\\
\ddot{z}=-\frac{Gm_1}{r_1^3}z-\frac{Gm_2}{r_2^3}z
\end{array} \right.
\end{equation}
\end{frame}
\subsection{空气阻力}
\begin{frame}
\frametitle{空气阻力}
大气层的空气阻力会对速度有非常大的影响。公式为
\begin{equation}
F=\frac 12 C_d \rho A v^2
\end{equation}
其中Cd的值已经用了高超声速情况下的公式，主要包括无粘阻力系数和摩擦阻力系数这两方面的效应。\\
抛射体所受到的空气阻力与发射角度有关，因此我的计算中实际上是把空气阻力和限制性三体问题放在一起计算的。
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{高超声速下粘滞系数公式}
1.无粘阻力系数
\begin{equation}
K=2.38+0.03792\theta-0.002521\theta^2+0.00004583\theta^3+2.917\theta^4
\end{equation}
其中K值的含义为$C_p=K\sin^2\theta$，而$C_P$的含义则是$\frac {F_p} A=\frac12 \rho C_p v^2$. $F_p$就是无粘阻力，A是截面积。其中$\theta$是形状有关的角度，可见飞行器越尖，这部分阻力越小。为了简单，可以假设我们的飞行器是尖锥形状的。

2.摩擦阻力系数

当$Re>10^7$时，
\begin{equation}
C_f=\frac {0.455} {{(lg Re)}^{2.58}}
\end{equation}
其中Re为雷诺数：$Re=\frac {\rho v l}{\mu}$，l为平板长度。
\end{frame}
\subsection{计算结果}
\begin{frame}
\frametitle{计算结果}
只要抛射体形状足够好，$C_d$的值可以控制在0.1的左右。

我们的计算设定质量M=10t，截面积$A=1m^2$。
计算结果显示，为达到月球，抛射体的出射速度必须在9.8km/s以上，发射方向与地面夹角约为$52^\circ$，在经过大气层得减速之后速度变为8.9km/s。
\\根据匀加速的公式
\begin{equation}
v^2=2as
\end{equation}
若管道长度限定在最长5km(在较高的山上打隧道)，那么加速度就必须不小于$10000m/s^2$，即1000g。
\end{frame}
\section{加速度的计算}
\subsection{设计一：电容放电驱动永磁体}
\begin{frame}
\frametitle{LCR放电电路}
电容放电过程近似为一个LCR电路。计算时根据目前技术电容放电产生的最大磁场来定的L、C、R、U0的值，一个典型的放电过程磁场B随时间t变化图如下：\\
\includegraphics[scale=0.3]{curve_of_B.png}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{永磁体的受力公式}
永磁体可以近似为有限长通电螺线管，由公式
\begin{equation}
m=B_m \sqrt{l^2+{(2r)}^2} A/\mu_0
\end{equation}
计算其磁矩。
单匝线圈在外磁场中的受力为
\begin{equation}
F=\nabla(m\cdot B)=m \frac{\partial}{\partial x}B
\end{equation}
对整个永磁体在长度上积分，可以得到永磁体的加速度公式
\begin{equation}
a(t)=\frac{m}{Ml}(B(h(t)+l/2)-B(h(t)-l/2))
\end{equation}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{计算结果}
一个线圈让抛射体产生的加速度曲线如图：\\
\includegraphics[scale=0.3]{curve_of_a.png}\\
剩磁1.4T的永磁体，要在外磁场峰值100T左右时才能达到要求的加速度。
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{计算结果}
但是考虑到永磁体的内禀矫顽力通常最大只是剩磁的$2\sim3$倍，看来永磁体的方案并不合适。

抛射体换成超导体，则上面的计算近似成立，可以认为超导体能够达到要求的加速度。

这个计算并未计算磁铁对外线圈的反作用。
\end{frame}
\subsection{设计二：电容放电驱动普通线圈}
\begin{frame}
\frametitle{方案二的电路图}
\includegraphics[scale=1]{dianlu.png}
\end{frame}
\begin{frame}
受力公式：
\begin{equation}
(R_a+R_d)I_2+(L_a+L_d)\frac{dI_2}{dt}+V_c=V
\end{equation}
\begin{equation}
(R_a+R_b)I_1+(L_a+L_b)\frac{dI_1}{dt}-R_bI_2-L_b\frac{dI_2}{dt}=V
\end{equation}
\begin{equation}
-R_bI_1-L_b\frac{dI_1}{dt}+(R_a+R_d)I_2+(L_b+L_d)\frac{dI_2}{dt}=-V_c
\end{equation}
\begin{equation}
R_cI_2+L_c\frac{dI_2}{dt}+\sum_{i=1, i\neq k}^{N_s}M_{ki}\frac{dI_i}{dt}+\sum_{j=1}^{N_p}I_j\frac d{dt}M_{kj}=Vc
\end{equation}
\begin{equation}
R_jI_j+L_j\frac{dI_j}{dt}+\sum_{k=1}^{N_s}I_k \frac d{dt}M_{kj}+\sum_{m=1, m\neq j}^{N_p}M_{mj}\frac{dI_m}{dt}=0
\end{equation}
\begin{equation}
F=\sum_{k=1}^{N_s}\sum_{j=1}^{N_p}I_kI_j\frac d {dx}M_{kj}
\end{equation}
\end{frame}

\section{即将开展的工作}
\begin{frame}
\frametitle{即将开展的工作}
\begin{enumerate}
\item{磁铁的方案希望做实验来演示。已经购买钕铁硼磁铁、大电容以及可编程控制器。}
\item{互感的方案也需要实验，因为互感系数难以理论计算，希望实验能解决问题。}
\item{对超导抛射体的方案进行数值模拟，要考虑超导体对线圈的反作用。}
\item{Quenchgun的方案继续查阅资料并尝试数值模拟。}
\end{enumerate}
\end{frame}

\end{document} 